Выпуск N 7 (46)

ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ  МНОГООБРАЗИЯ  СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ  РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ

Белан E. П, кандидат физ.-мат. наук, доцент

Рассмотрим систему уравнений  химической кинетики
u = u + u + f(u) - g(x)      (1)
где >0, 0, -оператор Лапласа,  u = (u1, , um), f = (f1, , fm), g = (g1, , gm)(L2())m = H().
Предположим, что функция  f(u)C1(Rm)  и удовлетворяет условиям

(f(u), u) 0|u|p°,         |f(u)|  |u|p°-1 + C,                                             (2)

(fk / ui )i k  0  = (1, ,m)Rm,                                                          (3)
где p0 > 2, C - постоянная. Пусть Rn  (n  3) ограниченная область с липшицевой границей. Система (1) рассматривается при одном из следующих граничных условий:

В случае (6) предполагается, что  = Tn, где Tn- мерный тор, а функция g(x) является 2-периодической. Если  не принадлежит C1, требуется выполнение условия (5) почти всюду. Далее через Hs обозначается шкала пространств, порождаемая оператором - I (I- единичная m- мерная матрица) при граничных условиях (4), (5) или (6). Норма в этих пространствах задается формулой ||u||2s = < -su, u > (при условиях (5),  (6) - это полунорма, норма равна || . ||o + || . ||s). Операторы s   и пространства Hs различны в случае условий (4), (5), (6), но согласно интерполяционной теореме HsHs() и норма Hs(), суженная на Hs эквивалентна норме в Hs. Поэтому пользуемся одним обозначением и в случае (4), и в случае (5), и в случае (6).
Тщательный анализ свойств полугрупп {St}, действующих в H и соответствующих задачам (1), (4); (1), (5); (1), (6) выполнен в [1]. Зафиксируем пространство H и соответствующую полугруппу {St}. Предположим далее, что в условии (2) при n = 3 параметр p0  6.
В дополнении к сформулированным условиям предположим, что функция f удовлетворяет условию подчиненности линейной части, которое имеет вид
|fk(u) / ui|  C1(1+ |u|p° - 2)                                                        (7)
В [1] показано, что полугруппа {St} имеет H-поглощающее множество G, компактное в H2.

Техника, используемая в этой работе для построения инерциального многообразия ИМ уравнения (1), восходит к работе [2]. В связи с задачей о возмущении инвариантных многообразий полулинейных параболических уравнений  метод Коппеля-Пальмера был обобщен в работе [3]. Техника Коппеля-Пальмера использована в [4] для построения центральных многообразий квазилинейных параболических уравнений.

Проблема построения ИМ для систем уравнений типа реакции-диффузии, близкая к рассматриваемой здесь проблеме, исследовалась в ряде работ (см. [3, 5 - 10]) и указанную в них лите-ратуру).

H-поглощающее множество {St}, ограниченное в H2 обозначим через G. Предположим G{u: ||u||2 < /2}. Согласно ([1], лемма I.5.1) оператор B:u  f(u) действует из H2 в H, причем
||B (u) - B (v)|| = C2||u - v||(1 + ||u||2 + ||v||2),
где C2  - постоянная. Пусть {ek, k = 1, } ортонормированный базис в H такой, что
Aek = kek, 1 2  ,   lim k = ,
где A = -I-оператор, рассматриваемый в пространстве H.
Зафиксируем целое N. Пусть N+1 -  > 0. Пусть функция f удовлетворяет условиям (2), (3), (7).
Основным результатом работы является теорема.

Теорема 1. Существует постоянная M такая, что если
(N+1 - N)  M,                                                                     (8)
тогда полугруппа {St} имеет N - мерное инерциальное многообразие.
Рассмотрим случай n = 2. Пусть  = [0,2]2. Так как множество собственных значений оператора  -I на H имеет вид
(m2+k2),
где (m, k)Z2, то согласно [11] неравенство (8) выполняется для любого  > 0 при соответствующем выборе N. Таким образом, справедлива теорема.

Теорема 2. Пусть правая часть уравнения (1) удовлетворяет сформулированным выше условиям. Тогда для каждого  > 0 полугруппа {St} имеет инерциальное многообразие.
Заметим, что теорема 2 справедлива и без условия (3).

Литература.

1. Бабин А. В., Вишик М. И. Аттракторы эволюционных уравнений.-М. Наука, 1989.- 294  с.

2. Coppel W. A., Palmer R. J. Averaging and Integral Manifolds //Bull. Austral Math. Soc. - 1970. -  P.197-222.

3. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. - М. Мир, 1985. - 374 с.

4. Белан Е. П., Лыкова О. Б. Теорема о центральном многообразии нелинейного параболического уравнения. //Укр. мат. ж. , 1995. - 48, 8, - С. 1021-1036.

5. Foias C., Sell G. R. and Temam R. Inertial Manifolds for Nonlinear Evolutionary Equations. //J. Diff. Eq. - 1988. - 73, - P. 309-353

6. Mallet-Paret J. and Sell G.R. Inertial Manifolds for Reaction Diffusion Equation. //J. AMS - 1988. - 1,
- P. 805-866.

7. Constantin P., Foias C., Nicolaenko B. and Temam R. Spectral Barriers and Iner-tial Manifolds for Dissipa-tive Partial Differential Equations. //J. Dynamics Diff. Eq. - 1989. - 1, 1. - P. 45 - 73.

8. Чуешов И.Д. Введение в теорию инерциальных многообразий-.- Харьков: Изд-во ХГУ, 1992. - 97 с.

9. Чуешов И.Д. Глобальные аттракторы в уравнениях математической фи-зики //Успехи мат. наук- 1993. - 48, 3. - С. 135-161.

10. Романов А.В. Точные оценки размерности инерциальных многообразий нелинейных параболических уравнений //Известия РАН сер. мат. - 1993 - 57, 4. - С. 36-54.

11. Richards I. On the gaps between numbers which are the sum of the squares // Adv. Math. - 1982 - 46,
- P. 1-2.