Выпуск N 5 (44)

МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЧНО ДИССИПАТИВНОЙ
ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ГИДРОСИСТЕМЫ

Д. А. Закора , аспирант

1. Постановка задачи.

Рассмотрим сосуд, частично заполненный двумя несжимаемыми несмешивающимися жидкостями. Сосуд равномерно вращается вокруг оси, сонаправленной с действием силы тяжести. Жидкости предполагаются тяжелыми, поэтому действие капиллярных сил в этой задаче не учитывается. Область  , нижняя по отношению к действию cилы тяжести, заполнена вязкой жидкостью плотности   с динамическим коэффициентом вязкости   (кинематический коэффициент вязкости  ). Область   заполнена идеальной жидкостью плотности  

Обозначим через  единичный вектор, нормальный к   (i = 1,2). Через   обозначим часть стенки сосуда, граничащей с областью . Обозначим через   свободную поверхность первой жидкости, и через   свободные поверхности второй жидкости. Введем систему координат , жестко связанную с сосудом, таким образом, что  ось   совпадает с осью вращения и направлена  против действия силы тяжести, а начало координат находится на равновесной поверхности . В этом случае равномерная скорость вращения сосуда запишется в виде . Будем считать для определенности, что .

Постановка линейной задачи о малых движениях рассматриваемой гидросистемы имеет следующий вид:
    ,          div       ( в  ) ,
    ,         div         ( в  ),                                         (1)
               ( на  ),                           ( на  ),
             ( на  ),                        ( на  ) ,                           (1)
             ( на  ) ,                     ( i=1, 2;  на  ),
      ,       ( на  ),            ,
                      ( i=1, 2 ).                                                                (2)

Здесь  ≈  поля скоростей жидкостей в соответствующих областях,  ≈  динамические давления в жидкостях,  ≈ малые нормальные отклонения свободных границ от состояния равновесия,  ≈ известные гладкие функции заданные на ,  ≈ малое поле внешних массовых сил. Далее считаем, что движения гидросистемы статически устойчивы по линейному приближению; это означает, что функции   строго положительны на  .

2. Операторная формулировка задачи и сильные решения соответствующей задачи Коши.
Применим к  задаче (1) метод ортогонального проектирования. После отделения тривиальных решений основную задачу можно записать в виде дифференциального  уравнения в ортогональной сумме гильбертовых пространств  :
,         (3)
                                         ,                                                                              (4)
где       ,            ,
               div       ( в ),          ( на ) ,
          ( в ),              ( на  ),     ,
             div           ( в  ),                ( на  ) ,
         .

Введем следующие обозначения:
,      ,      ,      ,
,    ,      ,     .
Тогда уравнение (3) запишется в виде
                                                    .                                                                       (5)
Сделаем в уравнении (5) замену . В результате получим уравнение относительно z:
,                                                        (6)
где число   выбрано таким образом, что  . Это возможно, так как     в .

ЛЕММА 1.   Имеют место следующие утверждения:
1.   ;
2.    неограничен в H;
3.  ;
4.   ;
5.  оператор  аккретивен.
Доказательство леммы довольно обширно и потому здесь не приводится.

Оператор   не является замкнутым из-за того, что оператор  неограничен в   и  . Таким образом, оператор  не является максимальным аккретивным, но допускает замыкание до максимального аккретивного оператора.

ЛЕММА 2.    Замыкание   оператора  есть максимальный аккретивный оператор. При этом    ,
.

Доказательство. Нетрудно проверить, что оператор   можно представить в форме, аналогичной  с заменой   на  . Замыкание оператора    состоит в замене в среднем блоке    на  . Действительно, оператор    представлен в виде произведения трех замкнутых операторов, каждый из которых имеет ограниченный обратный, а значит (это можно доказать) он замкнут.

Найдем область определения   оператора . Прежде всего, из представления для оператора    следует, что   . Далее, должно иметь смысл следующее выражение:
                                     ,
то есть  или  . Таким образом, заключаем
.
Заметим, что условие   следует из требования  . Действительно,
так как  и  для любого  , то   также принадлежит  . Лемма доказана.

Рассмотрим теперь уравнение (6) с заменой   на замкнутый оператор . Оператор   уже максимальный аккретивный. Введем в   эквивалентную норму с помощью квадратичной формы оператора  и преобразуем уравнение (6) к виду
                       .                                                (7)
ТЕОРЕМА 1.  Начально-краевая задача (1) имеет единственное сильное решение на промежутке , выражаемое формулой
,
,
если выполнены следующие условия:
1.  ,
2.  .

Записывая уравнение (7) в виде системы, можно показать, что для начальных данных из области определения незамкнутого оператора  соответствующее решение также находится в области определения незамкнутого оператора. Осуществляя в этой системе обратную замену , мы прийдем к следующему утверждению.

ТЕОРЕМА 2.   Задача Коши (3)-(4) имеет единственное сильное решение на промежутке , если выполнены следующие условия:
1.    ,
2.  .
Переформулировка последнего результата в терминах исходной задачи приводит нас к следующему выводу.

ТЕОРЕМА 3.   Начально-краевая задача (1) имеет единственное сильное решение на промежутке  , если выполнены условия:
1.  ,
      div    ( в  ),        ( на ),
,
причем    ( на  ).
2.    .

Автор выражает благодарность научному руководителю Н. Д. Копачевскому за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.