|
Программа по математике для поступающих
в высшие учебные заведения 1 и II уровней аккредитации в
1997 году состоит из трех разделов. В первом из них дано
перечисление основных понятий и фактов алгебры и геометрии,
которые должны знать поступающие. Второй раздел содержит
теоремы и формулы, которые необходимо уметь выводить. Содержание
теоретической части экзамена должно вытекать из этого раздела.
В третьем разделе перечислены основные математические умения
и навыки, которыми должен владеть поступающий.
На экзамене по математике поступающий в
высшее учебное заведение 1 и II уровня аккредитации должен
показать:
а) четкое знание математических определений
и теорем, основньгх формул алгебры и геометрии, умение доказывать
теоремы и выводить формулы;
б) умение четко выражать математическую
мысль устно и в письменной форме;
в) уверенное владение основными умениями
и навыками, предусмотренными программой, умение применять
их при решении задач.
I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И
ФАКТЫ
Арифметика и алгебра
1. Натуральные числа (N). Простые и составные
числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель. Наименьшее
общее кратное. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
2. Целые числа (Z). Рациональные числа
(Q). Их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение
рациональных чисел.
3. Действительные числа (R), их представление
в виде десятичных дробей.
4. Десятичные дроби. Чтение и запись десятичных
дробей. Сравнение десятичных дробей. Сложение, вычитание,
умножение и деление десятичных дробей. Приближенное значение
числа. Округление чисел. Процент. Основные задачи на проценты.
5. Положительные и отрицательные числа.
Противоположные числа. Модуль числа, его геометрический
смысл. Сравнение положительных и отрицательных чисел. Сложение,
вычитание, умножение и деление положительных и отрицательных
чисел.
6. Числовые выражения. Использование букв
для записи выражений. Числовые значения буквенных выражений.
Вычисление по формулам. Буквенная запись свойств арифметических
действий. Преобразование выражений: раскрытие скобок, приведение
подобных слагаемых.
7. Пропорции. Основное свойство пропорции.
Понятие о прямой, обратно пропорциональной зависимости между
величинами. Решение задач при помощи пропорций.
8. Изображение чисел на прямой. Координата
точки на прямой. Формула расстояния между двумя точками,
заданными координатами. Прямоугольная система координат
на плоскости, точки на плоскости. Координаты (абсцисса и
ордината). Формула расстояния между двумя точками плоскости,
заданными координатами.
Действительные числа
10. Понятие об иррациональных числах.
Действительные числа. Числовые неравенства и их свойства.
Почленное сложение и умножение числовых неравенств.
11. Измерение величин. Абсолютная и относительная
ошибка приближенного значения числа. Запись чисел в стандартном
виде. Выполнение арифметических действий с приближенными
значениями чисел.
12. Квадратный корень. Нахождение приближенного
значения квадратного корня.
13. Радианное измерение углов. Синус, косинус,
тангенс произвольного угла.
Тождественные преобразования выражений
14. Многочлен. Сложение, вычитание и умножение
многочленов. Степень многочлена. Разложение многочлена на
множители. Формулы сокращенного умножения.
15. Применение формул сокращенного умножения
для разложения многочлена на множители.
16. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного
трехчлена на множители.
17. Алгебраическая дробь. Основное свойство
дроби. Сокращение алгебраических дробей. Сложение, вычитание,
умножение и деление алгебраических дробей. Тождественные
преобразования рациональных алгебраических выражений.
18. Степень с натуральным показателем и
ее свойства. Степень с целым показателем и ее свойства.
Стандартный вид числа. Преобразование выражений со степенями.
19. Корень n-й степени и его свойства.
Степень с рациональным показателем и ее свойства. Квадратный
корень. Арифметический квадратный корень. Свойства квадратных
корней.
20. Основные тригонометрические тождества:
; Формулы сведения (без доказательства). Синус и косинус
суммы и разности двух углов, синус и косинус двойного угла.
Сумма и разность синусов, косинусов. Тождественные преобразования
тригонометрических выражений.
21. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Формулы n-го члена и суммы n первых членов прогрессии. Бесконечно
убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.
Уравнения и неравенства
22. Уравнения. Корни уравнения. Линейные
уравнения с одним неизвестным. Квадратные уравнения. Формулы
корней. Решение рациональных уравнений.
23. Системы уравнений. Решение системы
двух линейных уравнений с двумя неизвестными и ее геометрическая
интерпретация. Решение простейших систем, имеющих одно уравнение
второй степени. Решение текстовых задач методом сложения
уравнений, систем уравнений.
24. Линейные неравенства с одним неизвестным.
Система линейных неравенств с одним неизвестным. Решение
неравенств второй степени с одной переменной. Решение рациональных
неравенств, метод интервалов.
Элементарные функции
25. Функции. Область определения и область
значений функции. Способы задания функции. График функции.
Возрастание и убывание функции. Четные и нечетные функции.
26. Функции: , (n-1 - натуральное число),
; ; . Их свойства и графики.
Геометрия. Геометрические
фигуры и их свойства
1. Начальные понятия планиметрии. Геометрические
фигуры. Понятие об аксиомах и теоремах. Понятие об обратной
теореме.
2. Смежные и вертикальные углы и их свойства.
Параллельные прямые и пересекающиеся. Признаки параллельности
прямых. Перпендикулярные прямые. Теоремы о параллельности
и перпендикулярности прямых.
3. Треугольник. Свойства равнобедренного
треугольника. Сумма углов треугольника. Теорема Пифагора
и следствия из нее.
4. Параллелограмм и его свойства. Признаки
параллелограмма. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства.
Трапеция и ее свойства. Правильные многоугольники.
5. Окружность и круг. Касательная к окружности
и ее свойства.
6. Свойство серединного перпендикуляра
к отрезку. Окружность, описанная около треугольника. Свойства
биссектрисы угла. Окружность, вписанная в треугольник.
7. Понятие о равенстве фигур. Признаки
равенства треугольника (без доказательства).
8. Понятие о подобии фигур. Признаки подобия
фигур (без доказательства).
9. Движение: осевая и центральная симметрии;
поворот, параллельный перенос. Примеры фигур, имеющих симметрию.
10. Основные задачи на построение при помощи
циркуля и линейки.
Геометрические величины
11. Длина отрезка и ее свойства. Расстояние
между точками. Расстояние от точки до прямой.
12. Величина угла и ее свойства. Измерение
вписанных углов.
13. Длина окружности. Длина дуги. Число
.
14. Понятие о площади, основные свойства
площади. Площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма,
трапеции. Отношение площадей подобных фигур (без доказательства).
Площадь круга и его частей.
Элементы тригонометрии
15. Синус, косинус, тангенс угла. Соотношение
между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Теоремы
синусов и косинусов (без доказательства). Решение треугольника.
Координаты и векторы
17. Прямоугольная система координат на
плоскости. Формула расстояния между двумя точками плоскости
с заданными координатами. Уравнение прямой и окружности.
18. Вектор. Длина и направление вектора.
Угол между векторами. Коллинеарные векторы. Сложение векторов
и его свойства. Умножение вектора на число и его свойства.
Разложение вектора по осям координат. Координаты вектора.
Скалярное произведение векторов и его свойства. Проекции
вектора на ось.
II. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ФОРМУЛЫ
1. Степень с рациональным показателем
и ее свойства.
2. Корень n-й степени и его свойства.
3. Формула n-го члена арифметической и
геометрической прогрессии.
4. Формула суммы n первых членов арифметической
и геометрической прогрессии.
5. Функция , ее свойства и график.
6. Функция , ее свойства и график.
7. Функция , ее свойства и график.
8. Функция , ее свойства и график.
9. Функция , ее свойства и график.
10.Формула корней квадратного уравнения.
11.Формула записи квадратного трехчлена
в виде произведения линейных множителей.
12.Формулы сокращенного умножения: ; .
13. Решение линейных уравнений и сводящихся
к ним (на конкретных примерах).
14. Решение линейных неравенств и систем
линейных неравенств (на конкретных примерах). Решение систем
двух линейных уравнений .
16.Зависимость между тригонометрическими
функциями одного и того жe aргумента.
17. Формула двойного угла.
Геометрия
1. Свойства равнобедренного треугольника.
2. Свойства биссектрисы угла.
3. Признаки параллельности прямых.
4. Теорема о сумме углов треугольника.
5. Свойства параллелограмма и его диагоналей.
6. Признаки равенства, подобия треугольников.
7. Свойства прямоугольника, ромба и квадрата.
8. Окружность, вписанная в треугольник,
и окружность, описанная около треугольника. Теорема о вписанном
угле в окружность. Свойство касательной к окружности. Теорема
Пифагора и следствия из нее.
12. Значения синуса, косинуса углов 0,
30, 45, 60, 90.
13. Сложение векторов и его свойства.
14. Скалярное произведение векторов и его
свойства.
15. Формулы площадей параллелограмма, треугольника
и трапеции.
16. Уравнение прямой и окружности.
III. ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ
Поступающий должен:
1. Уверенно владеть навыками вычислений
при выполнении действий с рациональными числами (натуральными,
целыми, обыкновенными и десятичными дробями).
2. Уметь выполнять тождественные преобразования
основных алгебраических выражений (многочленов; дробно-рациональных
выражений; выражений, содержащих степени и корни), тригонометрических
выражений.
3. Уметь решать уравнения, неравенства
и их системы первой и второй степени и сводящиеся к ним,
а также решать задачи на составление уравнений и их систем.
4. Уметь строить графики функций, предусмотренных
программой.
5. Уметь изображать геометрические фигуры
и производить простейшие построения на плоскости.
6. Владеть навыками измерения и вычисления
длин, углов и площадей, применяемых для решения разнообразных
практических задач.
|
