Математика (для 11 классов)

Общие положения

Программа по математике состоит из трех разделов. Первый из них содержит перечень основных математических понятий и фактов, которыми должен владеть поступающий (уметь правильно их использовать при решении задач, ссылаться на них при доказательстве теорем). Во втором разделе указаны теоремы, которые следует уметь доказывать. Содержание теоретической части экзаменов должно формироваться из этого раздела. В третьем разделе перечислены основные математические умения и навыки, которыми должен владеть поступающий.

На экзамене по математике поступающий должен показать:

а) четкое знание определений, математических понятий, терминов, формулировок правил, признаков, теорем, предусмотренных программой, умение их доказывать;

б) умение четко и сжато выразить мысль в устной и письменной форме, использовать соответствующую математическую символику;

в) уверенное владение практическими математическими умениями и навыками, предусмотренными программой, умение использовать их при решении задач и упражнений.

I. Основные математические понятия и факты

Арифметика, алгебра и начала анализа

Натуральные числа и нуль. Чтение и запись натуральных чисел. Сравнение натуральных чисел. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел.

Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального числа. Четные и нечетные числа. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Деление с остатком. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.

Обыкновенные дроби. Сравнение обыкновенных дробей. Правильная и неправильная дробь. Целая и дробная часть числа. Основное свойство дроби. Сокращение дроби. Среднее арифметическое нескольких чисел. Основные задачи на дроби.

Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень и его свойства.

Логарифмы и их свойства. Основное логарифмическое тождество.

Одночлен и многочлен. Действия над ними. Формулы сокращенного умножения.

Многочлен с одной переменной. Корень многочлена (на примере квадратного трехчлена).

Понятие функции. Способы задания функции. Область определения, область значений функции. Функция, обратная данной.

График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность функции.

Достаточное условие возрастания, убывания функции на промежутке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.

Определение и основные свойства функций: линейной y=kx+b, квадратичной y=ax2+bx+c, степенной y=xn(n╨Z), показательной y=ax, a>0, логарифмической y=logax, тригонометрических функций
(y=sinx, y=cosx, y=tgx).

Уравнения. Решение уравнений, корни уравнения. Равносильные уравнения. График уравнения с двумя переменными.

Неравенства. Решение неравенств. Равносильные неравенства.

Системы уравнений и системы неравенств. Решение систем. Корни систем. Равносильные системы уравнений.

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов прогрессий.

Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).

Преобразование в сумму и

Определение производной, ее физический и геометрический смысл.

Производные суммы, произведения, частного и функций y=kx+b, y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=xn, где n- натуральное число.

Геометрия

Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Параллельные прямые. Равенство и подобие геометрических фигур. Отношение площадей подобных фигур.

Примеры преобразования геометрических фигур, виды симметрии.

Векторы, операции над векторами.

Многоугольник. Вершины, стороны, диагонали многоугольника.

Треугольник. Медиана, биссектриса, высота треугольника, их свойства. Виды треугольников. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция, их основные свойства.

Окружность и круг. Центр, диаметр и радиус, хорды, секущие окружности. Соотношение между отрезками в окружности. Касательная к окружности. Дуга окружности. Сектор, сегмент.

Центральные и вписанные углы, их свойства.

Формулы площадей геометрических фигур: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, квадрата, ромба, трапеции.

Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и площадь сектора.

Плоскость. Параллельные плоскости и пересекающиеся плоскости.

Параллельность прямой и плоскости.

Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.

Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность двух плоскостей.

Многогранники. Вершины, ребра, грани, диагонали многогранника. Прямая и наклонная призмы. Пирамида. Правильная призма и правильная пирамида. Параллелепипеды, их виды.

Тела вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.

Формулы площадей поверхности сферы, объема шара и его частей (шарового сегмента и сектора).

II. Основные формулы и теоремы

Алгебра и начала анализа

Функция y=kx+b, ее свойства и график.

Функция y=k/x, ее свойства и график.

Функция y=ax2+bx+c, ее свойства и график.

Формула корней квадратного уравнения.

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

Свойства числовых неравенств.

Логарифм произведения, степени, частного.

Функции y=sinx, y=cosx, y=tgx, их определения, свойства и графики.

Решение уравнений sinx=a, cosx=a, tgx=a.

Формулы приведения.

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Тригонометрические функции двойного аргумента.

Производная суммы, произведения, частного двух функций, степенной функции.

Производные тригонометрических функций, показательной и логарифмической функций.

Уравнение касательной к графику функции.

Геометрия

Свойства равнобедренного треугольника.

Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.

Признаки параллельности прямых.

Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.

Признаки параллелограмма.

Окружность, описанная около треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник.

Касательная к окружности и ее свойства.

Измерение угла, вписанного в окружность.

Признаки равенства, подобия треугольников.

Теорема Пифагора, следствия из теоремы Пифагора.

Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.

Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности.

Признаки параллельности прямой и плоскости.

Признак параллельности плоскостей.

Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости.

Перпендикулярность двух плоскостей.

Параллельность прямых и плоскостей.

Перпендикулярность прямых и плоскостей.

III. Основные умения и навыки

Поступающий должен уметь:

Выполнять арифметические действия над натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями; пользоваться калькулятором и таблицами.

Выполнять тождественные преобразования многочленов, алгебраических дробей, выражений, содержащих степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

Строить и читать графики линейной, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций.

Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, а также уравнения и неравенства, сводящиеся к ним; решать системы уравнений и неравенств первой и второй степени и сводящиеся к ним; простейшие уравнения и неравенства, содержащие степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

Решать задачи с помощью уравнений и систем уравнений.

Изображать геометрические фигуры на плоскости выполнять простейшие построения на плоскости.

Использовать сведения из геометрии при решении алгебраических, а из алгебры и тригонометрии - геометрических задач.

Выполнять на плоскости операции над векторами (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число) и использовать их при решении практических задач и упражнений.

Образцы билетов устного экзамена по математике на математическом факультете

Специальность "информатика"

Решение уравнений sinx=a, tgx=a.
Признаки равенства треугольников.
Найти область определения функции.

Специальность "прикладная математика"

Производные тригонометрических функций y=sinx, y=cosx, y=tgx(с доказательством).
Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка. Касательная к окружности и ее свойства.
Решить уравнение.

Специальность "математика"

Формулы приведения.
Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка. Касательная к окружности и ее свойства.
Решить уравнение.